应该怎么理解隐函数定理？

应该怎么理解隐函数定理？

在经济学里面隐函数定理经常会用到，不过证明很复杂。从应用的角度，我们也最好能知道该定理背后的一些直观思路。由于对学习经济学的同学有用，我争取写得详细一些。

隐函数定理关心的是：给定一个隐函数关系 （即一个关于 的方程），在哪些点 附近 可以表示成 的函数 。经济学最常见的应用中考虑的隐函数是 ，它表示一个效用函数的无差异曲线。

定理. （二元函数版）假定 是平面上曲线 轨迹上的一点，且函数 一次连续可微。如果 ，则在该曲线在 附近的部分定义出 对 的一次连续可微函数。

例：考虑方程 ，满足该方程的轨迹是平面上的一个圆（如下图，取自wiki）。在圆上的A 点附近， 是 的函数，在 点附近则不是--该处一个对应轨迹上的两个 的取值。 容易验证的是，在 点函数 对 的偏导数取值为 .

那么知道 是 的函数有什么用呢？ 如果函数关系成立，我们就可以把该等式写为 。两边对 求导，我们得到

或者

即

.

这个式子在经济学里表示无差异曲线上商品之间的边际替代率：当商品1 的消费增加一个单位的时候，为了保持使效用仍然保持在 的水平，商品2 的消费需要相应减少的量，即对1 消费变化对应的补偿。值得注意的是，由上，为了求得边际替代率，我们并不需要把函数关系 从方程解出来，我们只需要知道函数 的两个偏导数就够了。

定理背后的基本思路

我们描述定理证明中简单直观的部分，即 和存在函数关系 的关系，不证明 也是一次连续可微。

存在函数关系 或者 意味着如果 变化，那么 也一定要相应地变化（而不是反过来）： 如果，那么这两个值的原像一定不包含相同的点，即集合。

用经济学的话说，该函数关系要求，如果商品2 的消费量发生边际变化，那么商品1 的消费量 必须要做相应地补偿才能使得效用不变。

如果商品2 的边际效用，那么商品2 消费的边际变化不会对总效用带来影响，从而商品1 的消费 不需要改变去补偿。

多元函数

考虑如下的函数方程，我们需要问类似的问题，什么时候变量向量 才可以解为 的函数 ？ 这里是 个方程， 个未知变量。最简单的情形是线性代数里面的线性方程组。

根据上面同样的思路， 意味着 变化，为了满足方程， 就需要相应地变化来补偿。

假定 边际变化到 ，那么各个方程左边取值的变化量为

什么时候这个变化一定需要 变化才能补偿呢？ --当这个向量不能由 相应地变化给 带来的效果

补偿（抵消）的时候，即，如果各个 给函数值带来的边际变化向量互相独立的话：

即 = 满秩（行列式不等于0）.

就经济学而言，这个版本的隐函数定理还会在等式约束下拉格朗日法的证明中碰到。