Simone0到1之间所有有理数之和 ，和1到2之间的有理数之和，哪个大？
的有关信息介绍如下：
这个问题很有趣，但是问法不太对。
这两个数列之和显然是发散的，无论在何种意义下，问“哪个大”都是错误的。
不如换一种问法，
0到1之间所有有理数之和，与1到2之间的有理数之和的比值是多少？
有一种取巧的解法：
其中 是0到1之间的有理数。注意到，对于任何一个 ， 也是0到1之间的有理数。
那么：
所以：
那么我们要求的比值也就是 。
这种方法看起来很舒服，很直观。
当然，错得离谱。
事实上，两个区间内的有理数之和的比值，可以为任意值（若可重排），或者说不存在（若不可重排）。
不想看证明的，或者没有高等数学基础的同学可以点赞离开了。
虽然不知道正确答案，至少学到了一个错误的做法，也是有益的。以后有人拿这种方式装比，你也可以打他的脸。
有基础，并且想要看证明的，请继续往下翻。
0到1之间所有有理数之和，和1到2之间的有理数之和的比值极限是多少？
这种问法的前提在于，一个区间内的有理数可以排成一个数列，否则这个问题依然不对。
当然我们知道，所有的有理数都可以用对角线法排成一个数列，一个区间内的当然可以排序。
那么设0到1之间的有理数数列有任意一种排法：
其中，
那么原问题就变成了：
注意，这里 和 是两个不一定相同的数列，他们虽然都是0到1范围内的有理数，但排列不一定相同。
那么对任意的排列，该极限存在吗？
因为这是一般情况下我们想要的“好性质”，所以我们尝试考查这个问题。
如果重排列真的不影响，那么原式等于：
所以，我们直接考查这个极限：
这个和式，通俗来说就是0到1所有有理数之和除以他们的“个数”的极限。
该和式收敛吗？
再次注意，这里问的是对任意的排列，该和式是否收敛。
回归极限存在最根本的定义：
直观的想，不管 取多少，我总可以在大于 的数项上取到任意多接近于1的 ，使得和式超过 和 限制的范围。
于是，我们尝试证明这个极限不存在。极限不存在的命题就是极限存在的反命题。
写出反命题的小技巧：把存在改成任意，任意改成存在，小于改成大于等于即可。
那么极限不存在的命题就成了：
证明这个命题很简单：
首先，如果 ，在 的时候，我们只需要始终取足够多的 之内的有理数出来，就能满足上面的命题。
而任意一个区间内都有任意多个有理数，所以可以这么取。
（很显然，和式 的极限不可能为大于等于1的数。）
所以，只需考查 的情况。
如果和式 ，则 就是命题中的那个使得和式超出这个范围的，极限就不存在。
如果 ，那么找到一个 ，因为数列 是任意排列的，总能找到 个有理数，使得他们不等于前面的 个有理数，并且每个有理数都大于 ：
其中 ，还是那句话，区间 之内总有任意多个有理数。
那么这个和式可以写成：
注意到原命题当中， 是我们可以取的，但是在 之前，所以 的表达式不能包含 。
而 和 在 之后，所以他们的表达式可以包含。
所以，我们取：
即可满足：
也就是说，存在 ，使得对于任意 ，和式的值超过了极限区间。
这样，我们就证明了和式的极限不存在。
根据黎曼重排定理，这个和式实际上可以等于0到1之间的任意值。（证明留作习题）
所以，0到1之间所有有理数之和，与1到2之间的有理数之和，比值为：
显然，这个比值可以为任意大于1的正实数。证毕。
课后习题答案来了啊。
原答案主要在于阐述我们的思考方式，从考虑两个和式的比值，到考察极限是否存在，再到证明极限不存在。
有一些不够严谨的地方，比如区间的方括号圆括号可能搞错了，下标可能哪里写错了，我也不打算检查了，大家能看懂思路就行。
嗯，还有最后说什么黎曼重排定理，只是我一点直觉。今天事后一想，感觉完全用不着这个定理，证明能够收敛到任意实数也是很简单的。
事实上，如果我们知道这个结论，一开始就可以直接证明，对于任意的0到1之间的值，都存在一个0到1之间所有有理数构成的数列，其前 项平均值的极限等于这个值。
还是写成命题：
现在我们开始构造 这个数列。
考虑区间：
其中：
这样能够保证这个区间还在0到1之间。
现在我们构造另外两个有理数序列：
和 ，他们满足：
是区间 内的所有有理数构成的数列， 是区间 内的所有有理数构成的数列，并且 ；
然后， ，（补集），是区间 的其他所有有理数构成的一个数列。
这里我们假设 是有理数，需要补充一个 放在最前面。
（如果是无理数，加一个小量逼近应该就行，具体不详细展开了）
这样，我们的 和 就包括了所有0到1之间的有理数。
那么我们令：
也就是说，每放一个 ，就跟 个 ，然后才放下一个 ；
这个数列的前 项平均值的极限等于 还是很容易证明的，这里我就略去了。
至于 取到0或者1的情况，也应该有相应的数列，也一并交给读者思考。
有人可能要问，比如 ，我们就构造这个数列：
这个数列确实能收敛到 ，每个数也都是有理数，但是，这种方式的错误在于，这个数列并没有包括所有的有理数。
你不能这样说：我的其他有理数在这无限个数之后，因为这样说是不严谨的。
根据数学上的定义，一个数存在于一个数列当中，就是要把它在哪个位置说清楚，比如 这个有理数，你必须说清楚它在第几个，而不是“第无限个”。
这就好比贴吧上的经典钓鱼问题， 0.9循环和1哪个大，有人说1减去0.9循环等于0.000...1，为什么是错的，就是因为他说不清楚最后这个1在哪一位上。
（这也是为什么实数集不能列出一个数列。康托尔证明了，你不可能找到一种方式说清楚每一个实数在第几位，因为总能生成一个你无法定位的实数）
而在答主之前构造的数列中，每一个有理数都是能够找到对应位置的。这种方式的主要思想在于把 邻域之外的所有数，稀疏的分散在数列当中，使得他们不能影响数列平均值的极限。
这个问题本身差不多到这就结束了。有以下几点感想和思考：
一、无限个数的排序方式很重要，排序不同，与之相关的极限就可能不同。。
二、无限带来了很多反直觉的结论，比如之前知乎上有个很火的问题，为什么无穷小乘以无穷小有可能等于无穷大？
三、回到定义。证明一切命题，都请写出最基本的定义，一定不要空对空，否则与民科无异。
