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数学集合中属于符号来历是怎样的?

数学集合中属于符号来历是怎样的?

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数学集合中属于符号来历是怎样的?

皮亚诺 (Giuseppe Peano, 1858-1932) 最早在 Arithmetices principia, nova methodo exposita (The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method ,1889) 中使用希腊字母 表示元素和集合之间的从属关系,这里 是拉丁文 est (it is) 的缩写,值得一提的是,这本书是也是最早介绍数理逻辑和集合论的著作之一,著名的自然数的皮亚诺公理体系也是在这本书中建立的。

在 Principii di logica matematica (The Principles of Mathematical Logic , 1891) 中, 皮亚诺则使用 来表示从属关系, 这里的 则是希腊文 ἐστί (is) 的首字母。此后他的著作中,也一直不严格区分 和 ,我个人认为那个时代的作品中采用 还是 更多应该取决于排版工人而不是数学家。

在皮亚诺之后,罗素 (Bertrand Russell, 1872- 1970) 和他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特海 (Alfred North Whitehead, 1861-1947) 在 Principa Mathematica (PM, 1910)[1]中继承了 的用法并且明确指出是沿用皮亚诺的记号。

应当指出的是,在皮亚诺和罗素的时代,描述内涵的class和描述外延的set并没有严格的区分,符号 的含义也更多是指“ 是 ”(这里 是某个属性的类)而不是现代意义上的“ 是 的一个元素”。只有到了豪斯多夫 (Felix Hausdorff, 1868-1942) 的 Grundzüge der Mengenlehre (Basics of Set Theory, 1914) 才第一次把集合论从数理逻辑中解放出来,这本书也是第一部系统介绍集合论的著作,不过不幸的是,他并没有给元素属于集合这种关系一个单独的符号。

我们今天使用的符号 实际上是希腊字母 的程式化写法,第一次在印刷文本中出现是在布尔巴基学派 (Nicolas Bourbaki) 的 Theorie des Ensembles (Theory of Sets, 1937),与此同时,在属于符号上加上反斜杠表示不属于的符号 也在这套书中首次出现了。但仍要指出的是,在此时并没有成为标准记号,直到60年代,Paul R. Halmos 还在 Naive Set Theory, 1960 中使用 和 表示属于和不属于。

P. S. 事实上,在比皮亚诺更早的时候,戴德金 (Richard Dedekind, 1831-1916) 曾经在 Was Sind und was Sollen Die Zahlen? (What are numbers and what should they be?, 1888) 用类似 的符号来表示“是……的一部分”,他既用 表示前者是后者的子集,又用 表示前者是后者的元素,但这种用法实际上混淆了集合间的包含关系和元素与集合的属于关系。历史上,这种混淆实际上经过很多数学家才最终在概念上面厘清,其演变可以参考[2],而如果要深究集合论的历史,那将会是一个大问题,在此就不多展开了。