如何求椭球体积？

如何求椭球体积？

你要会求椭圆的面积就会求椭球的面积。

一个圆 长胖了，不就是椭圆 。长胖了多少呢？现在的肩宽、腰宽、臀宽都是原来的 倍。因此面积 .

事实上，从圆 到椭圆 ，我们只差一个仿射变换 。而一个仿射变换 将一个图形 变成 的话，那么对应的面积的变化为 ，其中 指行列式。

现在，好好的一个球 ，经过努力锻炼，肩也变宽了，背也变厚了，最后变成椭球 ，对应的仿射变换应该是

，因此体积 。

注：既然看的人多了一点，我就有义务就一些模糊的表述做一点注解。

1)下面正文第二段关于仿射变换下面积变换公式 ，这里使用面积这个词，完全是因为我举得例子是2维的例子。而并不是说如果对于其他维数——比如3维——我们所考察的对象是一个图形的表面积。事实上这里如果使用英文“Volume”表述会更清楚。或者更严格讲，我们考虑的是如果 是一个勒贝格(Lebesgue)可测集，则其在仿射变换下的像 也是勒贝格可测的，此时其勒贝格测度满足关系式 。对于人民群众喜闻乐见的常见几何体而言，他们都是勒贝格可测的，其勒贝格测度就是通常所说的面积、体积或者“Volume”。对于这个公式，如果你懂的一点微积分的话，那么你应该还记得面积变换公式。如果 是一个满足“好的条件”(一个极强的条件是(允许带边的)区域的光滑同构)n维区域之间的映射，那么如果 是 上的连续函数，则我们有积分变换公式

这里的 是雅可比行列式(Jacobian)。但是我们知道，一个函数的在一点微分是这个函数在这一点处的线性近似。如果把(多元)函数也看成变换的话，那么其在一点处微分就是这一点处的近似的线性(仿射)变换，此时雅可比行列式 就是我们上面的 。

2)有的人不能理解什么是仿射变换。我们知道，一个(欧式)平面上任何两条不平行的直线都有且只有一个交点。直观上看，两条直线越“接近”平行，这两条直线的交点就离你越“远”。因此我们可以人为的规定两条平行直线也“相交”，他们的交点是“无穷远点”。两个“无穷远点”的连线称作“无穷远直线”，我们要求所有的“无穷远点”恰好组成这条“无穷远直线”。此时平行的直线族就相当于共“无穷远点”的直线束。一个平面添加上“无穷远直线”就叫做仿射平面。仿射平面的直线要么是“无穷远直线”，要么是通常的直线加上“无穷远点”。那么什么叫做仿射变换呢？就是仿射平面上，保持无穷远直线不动的(是作为整体不动，而不是上面每一点都是不动的)，把(任意一条)直线还变成直线的变换。

怎么直观的理解上面一段呢？我们可以考虑空间直角坐标系以及 平面。现在我们考虑平面 ，这是过点 且与 平面平行的平面，记作 。平面 上的点线就是我们通常的点线。那么，无穷远直线在哪里呢？我们可以换一种方式理解 上的点。设 是任意一点，那么 和原点 的连线 由 点唯一的决定。反过来，空间里任意一条与 相交的直线 都唯一的确定了 上的一个点 ，从而 。类似的，平面 上任何一条直线 都唯一的确定了空间里一个和 相交的平面 ，也就是过 和点 的平面。反过来也一样。这样除了在 平面上的点和线，我们将 上的点线一一的对应到空间里过原点 的线面。凭什么平面 这么特殊呢？所以，我们规定 平面就是 的无穷远直线， 平面上的过原点的直线就是 的无穷远点。直观上看，平面 和 平面 相交于“无穷远处”。因此，我们把整个空间的过原点 的直线和平面一一的对应到了 添加无穷远直线所构成的仿射平面 。为了增加几何直观，我们举一个例子。设 是 平面上一条过原点的直线，那么它应该对应于 上的一个无穷远点 ，那么 上过 的直线其实就是平行于 的直线。那么什么是仿射变换呢？仿射变换就是空间里满足把 还变成 的线性变换。

我们知道空间里任何一个线性变换都可以由一个矩阵表示 。它保持平面 不动，等价于说对任意的 都有 。这个条件等价于说是 .

也就是说仿射变换都是形如 的线性变换在 上的限制(用群的语言可以写成 )。其中 对应的是 上的平移变换，二阶矩阵 对应的是 上保持点 不动的线性变换(或者可以认为，如果我们将 按照"垂直起落“的方式等同于 平面， 就对应于 平面上的线性变换)。

上面正文中所写的变换 实际是一个没有平移的仿射变换，如果按照上面矩阵的记号写的话，就对应于矩阵 。

现在我们回到面积问题，对 上的一个图形 ，它的面积(数值上)其实就是 和它到 的投影所“拉”成的几何体 的体积。由于同体等高的关系， 在线性变换 下的像 的面积(数值上)实际就是 在 所对应的3阶矩阵 作用下的像的体积。由行列式的几何意义， 的面积= 的面积。注意 的第三行是 ，因此 就是2阶矩阵 的行列式。换句话说，平移(由 决定)不影响面积！

以上是对2维的仿射几何举的例子，高维都对！