Simone为什么调和级数 N 分之一是发散的，而 N 平方分之一是收敛的？
的有关信息介绍如下：
这个不多谈，关于它的证明起码有几十种
如：
如果不要证明
只要证明 收敛的话，那更简单，用中学数学的放缩法就行
发散也好证明，比如：
高数课本里的那个经典方法：
当然发散
利用不等式
可得
利用Cauchy积分判别法，可得到 发散
实际上 与 是同敛散的
之前的Cauchy积分判别法实际上就是拿调和级数的部分和与 做比较
但是还是有别的方法来得到这个序关系的，例如：
利用Lagrange中值定理，对于函数
， （ ）
在区间 上，由Lagrange定理，存在
显然 在 上是连续且单调递减的，所以
证明了 ，就可以得到
这样可以得到
或者构造函数 （ ），可以得到
同样可以得到
构造函数的方法还有很多，但这个是最简单的，不再讲其他的了
这是中学数学最常用的方法
注意到存在正数 ，对任意正整数 ，存在
由Cauchy准则，可得到 发散
至于为什么二者敛散性不同，那也可以用Cauchy积分判别法解释
所谓Cauchy积分判别法，原理是根据
（ 在 上是非负减函数）
由此可得
级数 与广义积分 具有相同的敛散性
的敛散性与 相同
而 是我们很熟悉的：
（ ）
（ ）
所以……
