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如何理解「芝诺悖论」?

如何理解「芝诺悖论」?

的有关信息介绍如下:

如何理解「芝诺悖论」?

芝诺的乌龟“悖论”的问题在于:没有考虑运动时间 或者 认为收敛的无穷级数不存在(认为无穷多个正数相加一定等于无穷大)。

设人和乌龟为质点A和B,B的初始位置为 ,人和乌龟均匀速直线运动,并且 (各物理量均大于零, )

假设当 时乌龟位于 处,按芝诺的理解人若要追上乌龟,那么人必须在之后的 时到达 处,但此时乌龟已经爬到了 处。

那我们就通过计算看看 和 到底等于多少,记: 这里 是人从 时刻走到乌龟在 时刻所在的 处所花的时间,而 则是乌龟在 这段时间的位移。

开始时,也就是从 开始的这一段时间, 然后: ……

可见 是等比数列,由 得 ,进一步得 又由 ,得

由 ,得

按照芝诺的理解,要想达到时刻 必须先到达时刻 ,那么就意味着

由于 是单调递增的数列,那我们就看一看这个数列是否存在极限,由 ,得

这个数列存在极限,这就意味着 ,也就是时间,存在上界,也就是说,时间的大小会“封顶”。

“逝者如斯夫,不舍昼夜”——孔丘

实际情况是,表示时间的取值

这就是“芝诺悖论”的思维错误之所在,芝诺并不知道极限,无穷级数的相关原理,并且他只看到人和乌龟在往前走,却没有看到“人追上乌龟上次所在位置”的时间是在不断缩短的。

而 的极限值,恰好就是人追上乌龟的时间。当人追上乌龟的时候,人和乌龟位置相同,故 .